Résolution de contraintes du premier ordre dans la théorie des arbres finis ou infinis

RÉSUMÉ. Nous présentons dans ce papier un algorithme de résolution, dans la théorie T des arbres (éventuellement infinis), des contraintes représentées par des formules générales du premier ordre, avec pour seul symbole de relation l’égalité et pour symboles de fonctions les éléments d’un ensemble infini F. L’algorithme est constitué d’un ensemble de 11 règles de réécriture de sous-formules en formules équivalentes. Il transforme une formule du premier ordre en une conjonction de formules (( résolues )), équivalente dans T, ne faisant pas intervenir de nouvelles variables libres et ayant les deux propriétés qui suivent. (1) La conjonction de formules résolues, soit est la constante logique vrai, soit se réduit à la proposition :vrai, soit a au moins une variable libre et n’est équivalente ni à vrai ni à faux dans la théorie T. (2) Chaque formule résolue se transforme d’une façon immédiate en une combinaison booléenne de formules de bases dont la longueur n’excède pas le double de celle de la formule résolue. Les formules de bases sont des cas particuliers de conjonctions d’équations avec quantifications existentielles. La correction de l’algorithme constitue une autre preuve de la complétude de T démontrée par Michael Maher. Nous terminons avec quelques benchmarks effectués par une implantation de l’algorithme, résolvant des formules qui font intervenir des imbrications de plus de 160 quantificateurs alternés.